汀香水榭

【读书笔记】对无穷远点的规定

“如果在作图中我们要求某些直线相交，而实际上它们却是平行的，这时我们的有些讨论就将失效……两条平行线不相交的事实，使几何推理在每一步似乎都遇到障碍，以至于在涉及两条直线相交的任何讨论中，平行线这种例外情形都必须分开来加以考虑和阐述。同样，中心射影必须和平行射影区分开来，并要对后者另行处理。如果我们真的必须对每一个这样的例外情形进行细致的讨论的话，那么射影几何将变得非常庞杂。因此我们试图改变一下，把我们的基本概念做某种推广，使得能去掉这例外情况。”——《什么是数学》第4章

根据日常经验，看起来明明不相交的两条平行线，你非要说他们在无穷远点相交，这种违背经验的概念怎么解释看起来都像悖论，学生时代的课本没能给我合理的解释，好在考试也不牵涉此论，于是，关于这个问题的疑惑就这样遗忘在我的长期记忆里——直到遇到本书的解释。原来，无穷远点概念的扩展其实包含着一种重要的数学思想：为了简化讨论，而对基本概念做某种推广，审视这种推广是否有意义的标准则是原有的性质/规则能否被延续（哪怕是部分的、有条件的延续）。

“在这里，几何直观指出了这样的方法：如果与另一条直线相交的直线逐渐地旋转到平行位置，则二直线的交点将退到无穷远处。直觉上我们可以说，二直线在“无穷远点”相交。这时，关键是要对这含糊的说法给出一个明确的意义，使得无穷远点（有时称为理想点）能够像平面上或空间中的普通点那样来讨论。换句话说，我们需要的是：即使这些几何元素是理想的元素，但涉及点、直线、平面等等的所有规则不变。要做到这一点，我们既可以用直观的办法，也可以用形式化的办法，正如我们在扩充数系时所做过的那样。在那里，一种做法是从测量的直观思想出发，而另一种做法则是从算术运算的形式规则出发。

首先，我们要看到，在综合几何中，即使是“普通”的点和直线这样一些基本概念，在数学上也是没给出定义的。在初等几何课本中，关于这些概念，经常能找到的所谓定义只是启发式的描述而已。对于普通的几何元素，我们的直觉使我们很容易感到它们的“存在”。但在几何中——作为一个数学体系来考虑——我们实际所需要的只是某些正确的规则。借助于它们，我们能运用这些概念，例如连接各点，求直线交点等等。从逻辑上考虑，一个“点”不是“自在之物”，对它，需要用能体现它与其他对象的关系的所有命题来完全描述。只要能以一种清晰而不矛盾的方式阐述“无穷远点”的数学性质，即它们与“普通”点的关系以及它们彼此之间的关系，则这个新的实体在数学上就有存在的意义了。普通的几何公理（例如欧几里得的公理），是从物理世界中的铅笔和粉笔线、拉紧的弦、光线、硬杆等抽象出来的。这些公理所赋予数学上点和直线的性质，是对应的物理对象的性态的高度简化和理想化的描述。通过任意两个用铅笔标出的实际的点能画出许多条直线而不只是一条。如果这点的直径变得越来越小，则所有这些直线将近似地相同。当我们说到“通过任意两点有一条且仅有一条直线”这个几何公理时，我们心里所指的就是这种情况。我们现在指的不是物理的点与直线，而是几何上抽象的、概念化的点与直线，几何的点和直线有着本质上比任何物理对象更为简单的性质，而且这样的简化是把几何发展成为一个演绎科学的根本条件。

如我们已指出的，与点和直线有关的普通几何，由于一对平行直线没有交点这一事实而被大大复杂化了。因此我们在几何的结构中作进一步的简化。通过扩大几何点的概念来消除这个例外，正如我们扩大数的概念来消除减法和除法的限制一样。在这里我们的指导思想始终是：希望在原来范围内通行的规律，在扩大的范围内仍然可行。

因此我们将规定，在每条直线上除普通点以外再加上一个“理想点”。这个点属于与给定直线平行的所有直线而不属于其他直线。这样一来，平面上每一对直线将交于一点；如果这对直线不平行，它们交于一普通点，而如果这对直线平行，则它们交于这二直线所共有的那个理想点上。由于直观的原因，一条直线的理想点称为这直线的无穷远点。

直线上一点退到无穷远处的直观概念，可能启发我们给每条直线加上两个理想点，沿着这直线的每一个方向有一个。其所以只加一个点（如我们上面所作），是由于我们希望保持这样一个规律：过任意两点有一条且仅有一条直线。如果一条直线与每条平行线共同包含两个无穷远点，则通过这两个“点”将有无穷多条平行线。

我们还将约定，除了平面上的普通直线以外，再加上一条“理想”直线（也称平面上无穷远直线），它包含平面上所有理想点而不包含其他点。显然，如果我们希望既保持原来过任意两点可作一直线的规定，又要得到任意二直线交于一点的新规律的话，就不得不做这个规定。为了说清这一点，让我们任意选择两个理想点，这时唯一通过这两点的直线不可能是一条普通直线，因为按照我们的规定，任何普通直线仅包含一个理想点。而且这条直线不能包含任意普通点，因为一普通点和一理想点决定一普通直线。最后，这条直线必须包含所有理想点，因为我们希望它与每一条普通直线有一个公共点。因此这条直线必须很明确地具备我们对平面上理想直线所假设的那些性质。

按照我们的规定，一个无穷远点被一族平行直线所确定，或者说由一族平行直线表示。正如一个无理数被有理端点区间套序列所确定一样。两条平行直线相交于无穷远点，这一命题没有神秘的含义，只不过是描述直线平行的一个约定方式。用这种方式表示平行（在语言上，原来它是针对直观上不同的对象用的），唯一的目的就是不必一一列举例外的情形；现在它们自然可用同一种语言来表示，或者说包括在用于“普通”情形的其他符号中。

综上所述，对无穷远点我们是这样规定的：关于普通的点和直线之间的关联性的规律，在扩大的点范围内继续成立；求二直线交点的做法，先前仅当直线不平行时才可能，现在则可以去掉这个限制。这样一种考虑——使得关联关系的性质在形式上得到简化——看起来似乎比较抽象，但读者在后面将会看到，这样做是很合适的。”——《什么是数学》第4章