汀香水榭

【读书笔记】丧失确定性的数学

“A.假设一个运动员在第一场比赛中击球3次，在第二场比赛中击球4次，那么他一共击球几次？答案是7次。

B.假设该运动员在第一场比赛中有2次击球成功，在第二场比赛中有3次击球成功，那么他一共击球成功几次？答案是5次。

C.击球成功次数与击球次数的比例称为平均击中率，第一场比赛中平均击中率为2/3，第二场比赛中平均击中率为3/4，那么两次比赛的平均击中率是多少呢？

如果我们用分数的相加法则（分母通分，分子相加），则2/3+3/4=17/12，答案显然这是荒谬的。如果我们使用分子和分母分别相加的算术法则，得到的答案是2/3+3/4=5/7，而这就是正确答案。”

——整理自《数学：确定性的丧失》第四章

虽然记忆是模糊的，但是我几乎十分确定，学分数运算的时候，多半算错过类似上面的题目。当时老师的教学重点明显也不在这里，仅仅告诉我们应该用总的击球成功次数除以总的击球次数，就这样，一开始我就接受了这种正确的计算方法，以至于完全没有察觉到：这样一个问题至少隐藏了两种计算规则，而判断哪一个是“正确”的，其依据完全是现实生活中的经验。这就好像娴熟的向导带领我们快速通过了精美的宫殿，而我们完全没有察觉到宫殿漂浮在半空，直到多年后回头看到曾经走过的路，不免惊出一身冷汗。

克莱因先生的这本《数学：确定性的丧失》在高于应用的层面探讨了数学基础性的问题，最后得出这样的结论：

“ 所有观点最终得到这样一个结论：决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以纠正。尽管2000年来，数学一直被看做是一门先验知识，但实际上并非如此，数学不是绝对的、不可变更的。

……

哲学家桑塔亚那在《怀疑论和动物式信仰》一书中指出，怀疑对思维至关重要，而动物式信仰则对行为至关重要。许多数学研究具有极大的重要性，欲使这种重要性长存，研究工作必须继续进行。动物式信仰正是提供了这样的信念。”——《数学：确定性的丧失》第十五章

可见，一方面，数学已经被认为不是一个绝对的真理体系，而是围绕着物理现实而波动；另一方面，对于脱离应用，只是关于数学自身的研究仍然在信念的驱动下继续。这个看似简单的结论，却凝聚了自19世纪以来数代数学家们的心血。

“因此，古希腊人留给后人两门截然不同的、发展得不一样的数学分支。一方面是演绎的、系统的、但有些缺陷的几何，另一方面则是经验算术及其延展代数。考虑到古希腊人要求由清晰的公理基础推论得到数学结果这样一个事实，而独立的算术和代数却没有它自己的逻辑机构，因此其出现成了数学史上一个巨大的反常现象。”

——《数学：确定性的丧失》第五章

起初，只有几何被认为是逻辑清晰的完美数学，而包括无理数、负数、复数在内的算术仅仅是方便应用而发明的模糊不清的概念，但是，费马和笛卡尔将由算术延展而来的代数引入几何，创造出了解析几何这样实用的分析工具，牛顿和莱布尼兹进一步发展出微积分，而基于微积分的物理学规律直接推动了科学技术的进步。也许是算术先天性缺乏的逻辑基础，微积分虽然有效但是逻辑基础却不牢固，直到后来的柯西和魏尔斯特拉斯等人的工作结束，微积分的大厦才被扶正。

当人们都以为数学终于逻辑严谨而美丽时，非欧几何的发现又带来了新的灾难。原来，自欧几里得以来被认为是逻辑完美的几何也不完美，人们从可疑的欧几里得“平行公设”（过直线外一点，有且仅有一条直线与原直线平行）出发，发现如果将该公设/假设分别修改为：没有直线与原直线平行、有无数条直线与原直线平行，则可以分别得到两种几何（双曲几何和椭圆几何），这两种几何在其公设下也是相容的（结论之间不存在矛盾）。

同样，以哈密尔顿的四元数、凯莱的矩阵代数为代表，各种奇怪的代数也被创造出来，似乎只要定义某种概念和运算规则，使其在体系内不会产生矛盾，就可以成为一种新的代数，于是，才被统一到几何演绎的算术真理也陷入了灾难。

“对算术真理最严重的打击来自于亥姆霍兹，他是个卓越的物理学家、数学家和医生。在他的《算与量》（1887年）一书中，他认为数学的主要问题是算术对物理现象的自适应性的证明，他的结论是只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。

亥姆霍兹考虑了许多相关的问题，数的概念本身来自于经验，某些经验启发了通常类型的数：整数、分数和无理数及其性质。对于这些经验，熟悉的数是适用的。我们认识到存在确实相等的物体，因此我们可以说，例如：两头牛。然而，这些物体必须不能消失、混合或分割。一个雨滴与另一个雨滴相加并不能得到两个雨滴。甚至是相等的概念也不能自动地用于经验……

……

因此，数学家们只能得出这个令人沮丧的结论：数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里适用只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。”

——《数学：确定性的丧失》第四章

老一辈的数学家捍卫传统，新一辈的数学家追求真理，当我们以为最终是新人们拿出证据使老人们接受真理时，现实却令人大跌眼镜，科学真理的接受原来是如此戏剧。

“非欧几何及其隐含的关于几何真理性的内容逐渐被数学家们所接受。但并不是由于它的适用性的任何证据被加强了，而是正如普朗克，这位量子力学的奠基人在20世纪初所说的：“一个新的科学真理并不是靠说服它的对手并使其看见真理之光取胜，而是由于它的对手死了，新的一代熟悉它的人成长起来了。””

——《数学：确定性的丧失》第四章

如果我们将几何被认为是逻辑完美的理由提炼出来，就会发现：演绎的模板其实源自欧几里得的《几何原本》，首先设定若干条被认为是不证自明的公理/公设，或者干脆就是假设，然后通过逻辑演绎的方式，可以由这些假设推导出以后的所有结论，只要假设是正确的，推导的过程没有瑕疵，那么，由此得出的所有结论就是完美的。

当然，为了让整个理论是完美的，还需要两个条件：

• 1.开头的那些假设、以及由其推导出的结论，彼此不能矛盾——相容性；

• 2.所有的假设涵盖了本理论所有的基础因素——完备性。

20世纪以来的数学家们，为了证明相容性和完备性，以逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化四种派别而纷争，直到哥德尔通过证明彻底否定了相容性和完备性的可能。从此，确定性的数学幻想被打破，数学家们继续探究数学问题的同时，终于相信：“决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以纠正。”

最后，关于数学直觉的问题。与教科书中对数学发现的暗示不同，数学家们的发现往往与其直觉密切相关，证明这种东西只是他们说服世人相信这些结论的手段而已——这恐怕也正是证明被称为“证明”的原因吧。至于数学发现的方法，恐怕正如柯朗在《什么是数学》中所言：“假设(5)的来源问题，属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是经验、类比和直观。”所以，直觉才是平凡而难得的数学发现工具。

“这是因为数学家们没有认识到这些概念（无穷大量、无穷小量、负数、复数等）不是来自于直接经验，而是心智的创作。

换句话说，数学家们是在贡献概念而不是从现实世界中抽象出思想，究其成因，他们是将感性知识转变为理性知识。由于这些概念被证明越来越实用，数学家们起初还忸怩作态，后来就变得肆无忌惮了，久而久之，人们也就认为这是无可指责且理所当然的了。从1700年起，越来越多的从自然中提取和在人思想中产生的观念进入数学领域并几乎被毫不怀疑地接受，由此引起的不良后果终于促使数学家们不得不从现实世界之上去审视他们的这门学科。

……

那么，数学家们如何知道他们该往何处去呢？同时，考虑到他们的证明传统，他们怎么敢只用规则就能保证结论的可靠性呢？毫无疑问，解决物理问题就是他们的目标，一旦物理问题被数学公式化后，就可利用精湛的技巧，从而新的方法和结论就出现了。数学公式的物理意义引导着数学的步骤，也经常给数据步骤提供部分论据，这个过程在原理上同一个几何定理的论证没有什么差别。在证明几何定理时，对图形中一些显而易见的事实，尽管没有公理或定理支持它们，还是被利用了。

除了物理思维，在所有新的数学工作中，还有强烈的直觉作用，基本概念和方法总是在对结论合理的证明以前很久就被直觉捕捉到了。杰出的数学家，不管他们怎样姿意妄为，都有一种本能，即保护他们自己免受灭顶之灾。伟大人物的直觉比凡人的推演论证更为可靠。

……

事实上，数学家并不像通常所认为的那样依赖于严格的证明。他的创造对他来说，其意义超过任何形式化，这个意义赋予其创造的存在性和现实性……

直觉甚至比逻辑更令人满意和放心。当一个数学家问自己为什么某个结果应站得住脚时，他寻求的是一种直觉的理解。事实上，如果所证出来的结果没有直觉意义，那么这种严格证明对他来说就一文不值。如果确实是这样，他就会非常挑剔地检查证明，如果证明看起来是对的，他才会努力去找出他自己直觉上的毛病……

那些伟大的数学家在逻辑证明尚未给出以前，就知道某个定理肯定是正确的，有时候只要有迹象表明证明是存在的，他们就满足了……

这么说，证明的概念不像普遍认为的那么重要，虽然它在公众的头脑中和数学家们的著作中显得那么突出……

对哈代来说，证明只不过是数学大厦的门面而不是其结构中的支柱……

……

还是魏尔说得更为恰当：“逻辑是数学家用来保持他思想健康强壮的卫生手段。”……”

——《数学：确定性的丧失》第七章、第十四章